ストークスの定理例題球から学ぶベクトル解析と鉱物応用

ストークスの定理例題球

この記事で学べる3つのポイント

📐

球面での具体的計算

半径Rの球面を用いたストークスの定理の実践的な例題と計算手順

⚡

電磁気学への応用

電場や磁場の解析におけるストークスの定理の活用方法

💎

鉱物探査との関連

地下鉱床の電磁探査技術における定理の実用的な意味

このページの目次

ストークスの定理例題球

ストークスの定理球面での基本設定

ストークスの定理は、空間における曲面上の面積分と、その境界となる閉曲線上の線積分を結びつける重要な定理です。球面を用いた例題では、原点を中心とする半径 $R$ Rの球を考え、平面によって切断された曲面を対象とします。

参考）【ベクトル解析】ストークスの定理～概要と例題～

定理の数式表現は $\oint_C\vec{F}\cdot d\vec{l}=\int_S\mathrm{rot}\vec{F}\cdot d\vec{s}$ ∮CF⋅dl=∫SrotF⋅dsとなり、左辺が線積分、右辺が回転の面積分を表します。球面の例題では、この両辺を実際に計算して等式が成立することを確認できます。

参考）ストークスの定理【内容と証明】

球面上の面素ベクトル $d\vec{S}$ dSの向きは、閉曲線の周回方向から右ねじの法則で決定され、球から外向きになります。この向きの設定が計算において極めて重要です。

参考）https://math0.pm.tokushima-u.ac.jp/~ohyama/lecture/vector_analysis/Vec10_u.pdf

ストークスの定理球の具体的計算例

原点を中心とする半径1の単位球面 $x^2+y^2+z^2=1$ x2+y2+z2=1が平面 $x+y+z=1$ x+y+z=1で切られる場合を考えます。原点から遠い側の曲面を $S$ S、その縁を $C$ Cとし、ベクトル場を $\vec{F}=(yz, -zx, 0)$ F=(yz,−zx,0)と設定します。

参考）https://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/StokesTheorem/index.pdf

まず回転を計算すると $\mathrm{rot}\vec{F}=(x, y, -2z)$ rotF=(x,y,−2z)となります。球面のパラメータ表示を $p(u,v)=(u, v, \sqrt{1-u^2-v^2})$ p(u,v)=(u,v,1−u2−v2)とすると、 $p_u\times p_v=(\frac{u}{\sqrt{1-u^2-v^2}}, \frac{v}{\sqrt{1-u^2-v^2}}, 1)$ pu×pv=(1−u2−v2u,1−u2−v2v,1)が得られます。

参考）http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2012-2016/2013/tm2/131211tm2.pdf

面積分 $\int_S\mathrm{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S}$ ∫SrotF⋅dSを計算すると、球面座標 $dS=R^2\sin\theta d\theta d\phi$ dS=R2sinθdθdϕを用いて具体的な数値が導出できます。一方、線積分 $\oint_C\vec{F}\cdot d\vec{l}$ ∮CF⋅dlも境界円周上で計算し、両者が一致することで定理が検証されます。

参考）ストークスの定理とは？計算例、電磁気学への応用

ストークスの定理球面と電磁気学応用

電磁気学において、ストークスの定理はファラデーの電磁誘導の法則を導出する際に不可欠です。電場 $\vec{E}$ Eと磁束密度 $\vec{B}$ Bの関係式 $\mathrm{rot}\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$ rotE=−∂t∂Bに定理を適用すると、 $\int_S\langle\mathrm{rot}E, n\rangle=\int_cE$ ∫S⟨rotE,n⟩=∫cEが成立します。

参考）http://www.radio3.ee.uec.ac.jp/ronbun/EM_Wonderland_Chap_3.pdf

アンペアの法則も同様に、磁界 $\vec{B}$ Bと電流密度 $\vec{j}$ jの関係 $c^2\mathrm{rot}\vec{B}=\frac{\vec{j}}{\varepsilon_0}$ c2rotB=ε0jから $c^2\int_c\vec{B}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_S\vec{j}$ c2∫cB=ε01∫Sjが導かれます。これらは回転の面積分を線積分に変換することで、実用的な計算を可能にします。

球面導体の問題では、対称性の高い球状の電荷分布を扱う際にストークスの定理が活用され、電場が球面に平行な成分を持たないように電荷が再配置される現象を解析できます。

参考）https://webpark1956.sakura.ne.jp/lecture/2004-em/note-em.pdf

ストークスの定理閉曲面と開曲面の違い

ストークスの定理において曲面は「開曲面」を考える必要があります。開曲面とは境界を持つ曲面であり、閉曲線がその縁となります。一方、球面全体のような「閉曲面」を考えると、境界が存在しないため定理の適用には注意が必要です。

閉曲面の場合、表裏の区別ができず、また周回する閉曲線が定義できません。このため、球面の一部を平面で切り取った「球冠」や「半球」を対象とすることで、明確な境界円が得られ、定理が適用可能になります。

曲面の向きと閉曲線の周回方向は右ねじの法則で関係付けられ、この対応が正しく設定されないと計算結果に符号の誤りが生じます。単連結な曲面であることも定理成立の前提条件です。

参考）ストークスの定理の応用 [物理のかぎしっぽ]