プランク定数 単位 なぜ量子の最小作用

プランク定数 単位 なぜ

プランク定数の単位がJ・sである物理的理由

 

プランク定数h = 6.62607015×10−34 J·sという単位を持つ理由は、その定義にあります。プランク定数は光子のエネルギーE[J]と振動数ν[1/s]の比例定数として導入されました。エネルギーをジュール、振動数を秒の逆数で表すと、自動的に両者の比はJ·s（ジュール·秒）という単位になるのです。

 

この単位が意味するところは、プランク定数が「作用」の次元を持つということです。作用とは、エネルギーと時間の積で表される物理量で、古典力学から量子力学への移行を特徴付ける量です。位置と運動量の積の次元でもあり、不確定性関係ΔxΔp ≥ ℏ/2（ℏはプランク定数を2πで割った換算プランク定数）の中に現れる重要な量です。

 

プランク定数が単なる比例定数ではなく、位相空間での最小面積を表現していることから、J・sという特殊な単位が採用されたのです。この単位こそが、量子論が古典論と根本的に異なることを示す指標となっています。

 

プランク定数の単位が黒体放射から導出された経緯

プランク定数が単位J・sで発見された経緯は興味深いものです。1900年、マックス・プランクは黒体放射のエネルギー分布を説明する過程で、光のエネルギー受け渡しが大きさhνの単位でのみ行われるという仮定を導入しました。

 

当時、ヴィーンが提案した放射法則は高振動数領域でよく合致していましたが、低振動数領域では測定値と矛盾していました。プランクはこの矛盾を解決するため、古典力学に対して革新的な仮定——エネルギーの量子化——を導入したのです。実験結果と理論式を比較することで、h = 6.55×10−34 J·sと定めました。

 

この値の単位がJ・sになった理由は、エネルギーの最小単位がhν（エネルギー = プランク定数 × 振動数）で表されるからです。振動数の単位は[1/s]、エネルギーの単位は[J]なので、プランク定数の単位は必然的に[J·s]となったのです。アインシュタインの光電効果の説明やミリカンの実験でも同じ値が確認され、この単位の正当性が証明されました。

 

プランク定数の単位が不確定性関係で重要な役割を演じる理由

プランク定数の単位J・sが特別な意味を持つのは、ハイゼンベルクの不確定性関係における役割です。位置xと運動量pの不確定さの積は常に換算プランク定数ℏの程度以上になるという関係式:
Δx·Δp ≥ ℏ/2
において、左辺の次元は[m]·[kg·m/s] = [kg·m²/s]となります。これはJ・sと同じ次元です。この一致は偶然ではなく、プランク定数がまさに量子的な不確定性を定量化する基本的な尺度であることを示しています。

 

プランク定数を2πで割った換算プランク定数ℏ = 1.054571817...×10−34 J·sは、角運動量の最小単位を表します。電子のスピンは常にℏ/2の半整数倍であり、軌道角運動量もℏの整数倍になります。これらの量子化は、プランク定数がJ・sという単位を持つからこそ、数学的に整合性を持つのです。

 

位相空間での面積要素dxdpの最小単位がℏという事実も、この単位の重要性を示しています。古典的には任意に小さい領域を定義できますが、量子力学ではℏより小さい位相空間領域は原理的に測定できません。このプランク定数による量子的な限界が、現代物理学の基礎となっているのです。

 

プランク定数の単位がキログラムの定義に採用された背景

興味深いことに、プランク定数の単位J・sは単なる理論的な量ではなく、現在のSI単位系の定義そのものに組み込まれています。2019年5月の国際度量衡総会(CGPM)で、質量の基本単位であるキログラムの定義が変更され、従来の国際キログラム原器から「プランク定数の固定値」への変更が決定されました。

 

新しい定義では、プランク定数h = 6.62607015×10−34 J·sという値を定義定数として採用することにより、キログラムが導出されるようになりました。この革新的な変更が可能になった理由は、キブル天秤法やX線結晶密度法といった高精度な実験手法によって、プランク定数を十分な精度（相対標準不確かさ 20×10−9以下）で測定できるようになったからです。

 

この定義変更は、プランク定数がもつJ・s単位の普遍的な重要性を世界が認めたことを意味します。かつて質量の標準は物質的なキログラム原器でしたが、今や量子定数による普遍的な定義に置き換わったのです。このことは、プランク定数が人類が発見した最も基本的で信頼できる物理定数であることを示しています。

 

プランク定数の単位J・sが示す宇宙の基本構造

プランク定数のJ・s単位が表す最も深い意味は、それが宇宙の最小スケール——プランク長やプランク時間——を決定するということです。プランク定数と光速c、万有引力定数Gを組み合わせることで、物理的に意味のある最小スケールが自然に現れるのです。

 

プランク長 = √(ℏG/c³) ≈ 1.616×10−35 m
プランク時間 = √(ℏG/c⁵) ≈ 5.391×10−44 s
これらの値は、量子重力効果が無視できなくなるスケールを表しています。プランク定数がJ・sという単位を持つからこそ、G[m³/(kg·s²)]やc[m/s]と組み合わせると、意味のある長さや時間の次元が自動的に現れるのです。

 

さらに注目すべき点は、作用量子という概念です。作用（action）とは古典力学ではハミルトンの主関数として知られ、ラグランジアンの時間積分で定義されます。プランク定数がこの作用の最小単位を表すという事実は、宇宙の根本的な対称性と保存則を統治しているのです。つまり、J・sという単位は単なる測定の便宜的な選択ではなく、宇宙の構造そのものを反映しているのです。

 

参考リンク：SI単位系の定義におけるプランク定数の役割についての詳細
プランク定数 - Wikipedia
参考リンク：2019年のSI再定義とキログラムの新しい定義についての解説
BIPM: The International System of Units

 

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宇宙を支配する 定数 万有引力定数から光速、プランク定数 （ブルーバックス Ｂ?２１９４） 臼田